Kalkulus Integral

Kegunaan integral sebagai ilmu bantu dalam geometri, teknologi, biologi dan ekonomi tak dapat disangkal lagi. Orang yang tercatat dalam sejarah pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah Archimedes seorang ilmuwan bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 – 212  SM). Archimedes menggunakan ide integral tersebut untuk mencari luas daerah suatu lingkaran, daerah yang dibatasi oleh parabola dan tali busur dan sebagainya. Sejarah mencatat orang  yang paling berjasa dalam hal pengembangan kalkulus integral adalah Georg Friederich Benhard Riemann (1826 – 1866).

A.  Integral Taktentu 
1.  Integral sebagai operasi invers dari turunan.

Misalkan fungsi f adalah turunan dari fungsi F, yang berarti  
= f(x) F(x) dx
= dF(x)
Pandanglah pendiferensialan fungsi-fungsi di bawah ini :

F(x) = x³

⇒ F′(x) = f(x) = 3x²

F(x) = x³

⇒ F′(x) = f(x) = 3x² 

F(x) = x²
⇒ F′(x) = f(x) = 3x² 
Sekarang timbul pertanyaan apakah dari hubungan F′(x) = f(x) ini jika f(x) diketahui maka f(x) pasti dapat ditentukan. Suatu operasi mencari F(x) jika f(x) diketahui  yang merupakan invers dari perasi 
pendiferensialan disebut operasi anti derivatif, anti diferensial, anti turunan yang biasa disebut Operasi integral. 

Dari contoh di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa anti turunan dari f(x) = 3x² adalah :
F(x) = x³
 + c , c = konstanta. 
Dari pengertian bahwa integral adalah invers dari Operasi pendiferensialan, maka apabila terdapat fungsi F(x) yang diferensial pada interval [a, b] sedemikian hingga f(x) = F' (x)dx = df(x) maka anti turunan dari f(x) adalah F(x) + c, dan biasa kita tulis dengan notasi :
∫ f(x)dx = F(x) + c

Notasi ∫ adalah notasi integral tak  tentu. 

Catatan : 
Orang yang pertama kali memperkenalkan lambang ∫ sebagai lambang integral adalah Leibniz, yang disepakati sebagai slah seorang penemu dari Kalkulus.